Metode Regula Falsi Menggunakan Matlab

Metode regula falsi atau metode posisi palsu atau metode interpolasi linear merupakan salah satu solusi pencarian akar dalam penyelesaian persamaan-persamaan non linier melaui proses iterasi (pengulangan). Persamaan non linier ini biasanya berupa persamaan polynomial tingkat tinggi, eksponensial, logaritmik, dan kombinasi dari persamaan-persamaan tersebut. Seperti metode biseksi (metode bagi dua), metode regula falsi juga termasuk dalam metode tertutup. Kekurangan metode ini adalah dalam membagi selang mulai dari xi sampai xu menjadi paruhan sama, besaran f(xi) dan f (xu) tidak diperhitungkan. Pada umumnya pencarian akar dengan metode biseksi selalu dapat menemukan akar, namun kecepatan untuk mencapai akar hampiran sangat lambat, oleh karena itu untuk mempercepat pencarian akar tersebut tersebut dibutuhkan dibutuhkan metode lain yaitu metode regula falsi. Kehadiran metode regula falsi adalah sebagai modifikassi dari metode biseksi, yang kinerjanya lebih cepat dalam mencapi akar hampiran. Pada algoritma proses memang dihentikan jika dicapai nilai mutlak f(m)<10^-6. Seperti halnya metode biseksi, metode ini bekerja secara iterasi dengan melakukan update range.Titik pendekatan yang digunakan oleh metode regula-falsi adalah:

Seperti halnya metode biseksi, metode ini bekerja secara iterasi dengan melakukan update range.Titik pendekatan yang digunakan oleh metode regula-falsi adalah:

Algoritma Metode Regula Falsi

Pada metode ini andaikan f(x) continu kemudian pilih a dan b sedemikian hingga a<b dan f(a)*f(b)<0. Algoritma Regula Falsi adalah sebagi berikut:

1. Ambil interval [a,b] tentukan nilai error

2. Tentukan nilai f(a) dan f(b)

jika tanda f(a) < f(b), nilai awal dapat digunakan untuk iterasi selanjutnya
jika tanda f(a) = f(b), nilai awal dapat digunakan untuk iterasi selanjutnya

3. Lakukan iterasi dan tentukan x1 dengan menggunakan rumus

4. Bila f (x1) = 0 maka x1 merupakan akar dan hentikan proses iterasi, sebaliknya

jika tanda f (x1) = tanda f(a) maka ambil a = x1
jika tanda f (x1) = tanda f(b) maka ambil b = x1

5. Ulangi langkah 2, 3, dan 4 di atas sampai didapat f (x1) =0

B. Bahasa Pemrograman Matlab

1. Interupting dan Terminating dalam Matlab

Untuk menghentikan proses yang sedang berjalan pada matlab dapat dilakukan dengan menekan tombol Ctrl-C. Sedangkan untuk keluar dari matlab dapat dilakukan dengan menuliskan perintah exit atau quit pada comamnd window atau dengan menekan menu exit pada bagian menu file dari menu bar.

2. Matriks

Dalam membuat suatu data matriks pada matlab, setiap isi data harus dimulai dari kurung siku ‘[‘ dan diakhiri dengan kurung siku tutup ‘]’. Untuk membuat variabel dengan data yang terdiri beberapa baris, gunakan tanda ‘titik koma’ (;) untuk memisahkan data tiap barisnya.

Matlab menyediakan beberapa fungsi yang dapat digunakan untuk menghasilkan bentuk-bentuk matriks yang diinginkan. Fungsi-fungsi tersebut antara lain:

- zeros : untuk membuat matriks yang semua datanya bernilai 0

- ones : matriks yang semua datanya bernilai 1

- rand : matriks dengan data random dengan menggunakan distribusi uniform

- randn : matris dengan data random dengan menggunakan distribusi normal

- eye : untuk menghasilkan matriks identitas

3. Operator

Operasi	Bentuk Aljabar	Bentuk Matlab
Perkalian	A X B	A*B
Pembagian	A : B	A/B
Penambahan	A+ B	A+B
Penguangan	A – B	A – B
Eksponensial	A^B	A^B

Operator	Keterangan
A<B	A lebih kecil dari B
A>B	A lebih besar dari B
A<=B	A lebih kecil atau sama dengan B
A>=B	A lebih besar atau sama dengan B
A==B	A sama dengan B
A~=B	A tidak sama dengan B

4. Fungsi Matematika lainnya

- abs(x) : fungsi untuk menghasilkan nilai absolut dari x

- sign(x) : fungsi untuk menghasilkan nilai -1 jika x1

- exp(x) : untuk menghasilkan nilai eksponensian natural, x e

- log(x) : untuk menghasilkan nilai logaritma natural x, ln x

- log10(x) : untuk menghasilkan nilai logaritma dengan basis 10, x 10 log

- sqrt(x) : untuk menghasilkan akar dari nilai x, x

- rem(x,y) : untuk menghasilkan nilai modulus (sisa pembagian) x terhadap y

5. Flow Control

- If, Else, Elseif

Bentuk penggunaan

- Disp : Fungsi disp digunakan untuk menampilkan pesan pada command window. Fungsi tersebut setelah dijalankan melalui command window

- while : Statement while digunakan untuk aliran data yang bersifat perulangan.

- For

Bentuk penggunaan

Langkah – Langkah Metode Bisection dan Regula Falsi Menggunakan Matlab

Contoh Soal

Tentukan akar dari persamaan non linear x^3 + x^2 - 8x - 10 = 0 pada interval [0,6] dengan error toleransi 0,0001!

1. Buka aplikasi Matlab, sehingga tampil gambar seperti gambar dibawah ini.

2. Klik tombol New Script (+) untuk membuat script baru sehingga muncul tampilan seperti gambar dibawah.
3. Buatlah Function seperti gambar berikut > kemudian tuliskan soal yang akan diselesaikan > end

4. Save script sebelum di running dengan cara ctrl + s dan beri nama sesuai dengan function tersebut > kemudian klik script baru dengan mengklik tanda +

5. Masukan perintah Clear All (untuk Memersihkan variabel yang aktif); clc (untuk membersihkan command window); close all (untuk menutup running yang sedang berjalan)

6. Masukkan perintah pemrograman (Membuat algoritma)

a. Tentukan interval bawah (xl) dan interval atas (xu). Pada soal telah diketahui batas bawah dan batas atasnya yaitu secara berurut turut (0,6) dan toleransi 0,0001

b. Kemudian carilah xm dengan menjumlahkan antara xl dan xu kemudian hasil dari penjumlahan tersebut dibagi dua. Atau dapat menggunakan rumus seperti digambar

c. Lakukan evaluasi sebagai berikut :

- Jika f (x_l) . f (x_u) <0, akar persamaan terletak di sub interval terendah (pertama). Jadi, atur xu = xm

- Jika f (x_I) . f (x_u) > 0, akar persamaan terletak di sub interval tertinggi. Jadi, atur xl = xm

- Jika f (x_I) . f (x_u) = 0, akar persamaan sama dengan xr. Sehingga hentikan perhitungan.

d. Tuliskan definisi dari variabel Fbawah dan Ftengah, dan posisikan diatas algoritma

7. Masukkan error relatif dan iterasi

8. Tuliskan definisi dari setiap variabel yang terdapat pada algoritma dan posisikan diatas algoritmanya

9. Agar tampilan di command window terlihat rapih, buatlah header seperti berikut

10. Gunakan formulasi seperti dibawah ini untuk menampilkan output gabungan

11. Save terlebih dahulu sebelum dilakukan running
12. Langkah terakhir adalah running, dengan mengklik RUN, sehingga muncul output yang ditampilkan di command window

B. Metode Regula Falsi
Metode regula falsi merupakan modifikasi dari metode bagi dua, sehingga Langkah langkahnya hampir mirip dengan metode bagidua. Yang membedakan adalah formula yang digunakan pada mwtode regula falsi. Langkah – Langkahnya adalah sebagai berikut :

1. Buka aplikasi Matlab

2. Klik tombol New Script untuk membuat script baru

3. Buatlah Function > kemudian tuliskan soal yang akan diselesaikan > end

4. Masukan perintah Clear All (untuk Memersihkan variabel yang aktif); clc (untuk membersihkan command window); close all (untuk menutup running yang sedang berjalan)

5. Masukkan perintah pemrograman (Membuat algoritma)

a. Tentukan interval bawah (xl) dan interval atas (xu). Pada soal telah diketahui batas bawah dan batas atasnya yaitu secara berurut turut (0,6) dan toleransi 0,0001

b. Kemudian carilah xm dengan formula xm=xu-((Fatas*(xu-xl))/(Fatas-Fbawah))

c. Lakukan evaluasi sebagai berikut :

- Jika f (x_l) . f (x_u) <0, akar persamaan terletak di sub interval terendah (pertama). Jadi, atur xu = xm

- Jika f (x_I) . f (x_u) > 0, akar persamaan terletak di sub interval tertinggi. Jadi, atur xl = xm

- Jika f (x_I) . f (x_u) = 0, akar persamaan sama dengan xr. Sehingga hentikan perhitungan

d. Tuliskan definisi dari variabel Fbawah, Ftengah dan Fatas, dan posisikan diatas algoritmanya

6. Masukkan error relatif dan iterasi

7. Tuliskan definisi dari setiap variabel yang terdapat pada algoritma dan posisikan diatas algoritmanya

8. Agar tampilan di command window terlihat rapih, buatlah header seperti berikut

9. Gunakan formulasi seperti dibawah ini untuk menampilkan output gabungan

10. Save terlebih dahulu sebelum dilakukan running

11. Langkah terakhir adalah running, dengan mengklik RUN, sehingga muncul output yang ditampilkan di command window

12. Untuk memunculkan grafik, masukan formula sebagai berikut

Sehingga muncul tampilan grafik seperti pada gambar berikut

Fitria Nur Rahayu

Senin, 21 Juni 2021